انواع زاويه:

زاويه ي نيم صفحه: زاويه اي که اضلاع آن در امتداد يکديگر باشند يا به عبارتي اندازه آن 180 درجه باشد.

زاويه ي صفر: زاويه اي که اضلاع آن در يک امتداد و در يک جهت باشد.

زاويه ي محدب: زاويه اي از نيم صفحه کوچک تر باشد.

زاويه ي مقعر: زاويه اي که از نيم صفحه بزرگتر باشد.

زاويه قائمه:‌زاويه اي که اضلاع آن بر هم عمود باشند.

زاويه ي حاده (تند):‌زاويه اي که اندازه آن کم تر از 90 درجه باشد.

زاويه ي منفرجه (باز):‌زاويه اي که اندازه ي آن بيش تر از 90 درجه و کمتر از 180 درجه باشد.

دو زاويه ي مجاور: دو زاويه که در يک رأس و يک ضلع مشترک باشند.

دو زاويه ي مجانب: دو زاويه ي مجاور که مجموع اندازه ي آنها 180 درجه باشد.

دو زاويه ي متمم: دو زاويه که مجموع اندازه ي آنها 90 درجه باشد.

دو زاويه ي مکمل:‌دو زاويه که مجموع اندازه ي آنها 180 درجه باشد.

حالا ممکن است که سه زاويه يا بيشتر با هم زاويه ي قائمه يا نيم صفحه تشکيل دهند.

مجموع زاويه هاي داخلي در مثلث 180 درجه مي باشد.

با توجه به شكل زير در زاويه ي متقابل به رأس داريم:

زاويه ي بين دو نيمساز مجاور، برابر با نصف مجموع دو زاويه مي باشد.

از برخورد يک خط اريب با دو خط موازي 8 زاويه ي حاده و منفرجه به وجود مي آيد. که زواياي حاده با يکديگر برابر دو زواياي منفرجه نيز با يکديگر مساوي مي باشند.

تعريف زاويه ي خارجي: زاويه اي که از امتداد يک ضلع مثلث با ضلع مجاورش ايجاد مي شود، زاويه ي خارجي ناميده مي شود. در شکل زير ضلع AC را امتداد مي دهيم زاويه اي که از امتداد اين ضلع با ضلع مجاورش به وجود مي آيد زاويه ي خارجي ناميده مي شود.

در برخورد n خط مستقيم، حداکثر زاويه ي تشکيل شده از رابطه ي به دست مي آيد.

و توجه کنيد چون در اين حالت دو زاويه روبرو متقابل به رأس هستند؛ بنابراين، اندازه اين زوايا حتماً برابر است و بايد تعداد زاويه را بر دو تقسيم کنيم تا تعداد حداکثر زاويه نا برابر به دست آيد.

اگر h: ساعت و m: دقيقه را نشان دهد،رابطه ي زاويه ي بين عقربه هاي ساعت را نشان مي دهد. نشان دهنده ي قدر مطلق a مي باشد که خاصيت قدر مطلق اينست که با هر علامتي وارد قدر مطلق شود، با علامت + از آن بيرون مي آيد.

‌براي اندازه ي گيري زاويه، همانند طول که واحد هايي همچون متر،‌اينچ و ... دارد و قابل تبديل به يکديگر مي باشند، 3 واحد مرسوم وجود دارد.

1- درجه: هرگاه محيط دايره را به 360 قسمت مساوي تقسيم کنيم، زاويه ي مرکزي رو به رو هر قسمت را يک درجه مي نامند درجه را با D نشان مي دهيم.

2- گراد: هرگاه محيط دايره را به 400 قسمت مساوي تقسيم کنيم، زاويه ي مرکزي روبرو به هر قسمت را يک گراد مي نامند و گراد را با G يا gr کنار يک عدد نشان مي دهيم.

3- راديان: هرگاه کماني از دايره را انتخاب کنيم که در ازاي آن (طول) مساوي شعاع دايره باشد، زاويه ي مرکزي رو به روي آن را يک راديان مي نامند و آن را با R نشان مي دهيم.

زاويه ي مرکزي:‌زاويه اي است که رأس آن به مرکز دايره واقع شده باشد و اضلاع آن شعاع هايي از دايره مي باشند.

براي تبديل اين واحدها از روابط زير استفاده مي کنيم:

‌انواع مثلث:

مثلث قائم الزاويه: مثلثي که يک زاويه ي 90 درجه دارد، ناميده مي شود.

ضلع روبرو به زاويه ي قائمه، را وتر مي نامند. در شكل زير، BC وتر ناميده مي شود.

مثلث متساوي الاضلاع: مثلثي که هر سه ضلع آن با هم برابر باشند که در اين نوع مثلث اندازه ي سه زاويه ي داخلي نيز با يکديگر برابرند.

مثلث متساوي الساقين: مثلثي که دو ضلع آن با هم برابر باشد، دو ضلع برابر ساق هاي مثلث و ضلع نا برابر قاعده ي مثلث ناميده مي شود با توجه به شكل زير، AC,AB ساق هستند و BC قاعده نام دارد.

در هر مثلث قائم الزاويه مربع اندازه ي ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب اندازه پاره خط هايي که پاي ارتفاع وارد بر وتر حاصل مي آيد.

با توجه به شكل داريم:

در هر مثلث قائم الزاويه حاصل ضرب دو ضلع زاويه ي قائمه مساوي با حاصل ضرب وتر در ارتفاع وارد بر وتر مي باشد. با توجه شكل زير داريم:

در هر مثلث قائم الزاويه، هرگاه اندازه ي يک زاويه باشد، ضلع مقابل به زاويه ي 30 درجه نصف وتر است. در شكل زير داريم:

در هر مثلث قائم الزاويه، هرگاه اندازه ي يک زاويه باشد، ضلع مقابل به زاويه ي برابر وتر مي باشد. در شكل زير داريم:

در هر مثلث قائم الزاويه، هرگاه اندازه ي يک زاويه باشد، ضلع مقابل به زاويه ي برابر وتر مي باشد. در شكل زير داريم:

در هر مثلث قائم الزاويه با زاويه ي 15 درجه و يا ، ارتفاع وارد بر وتر وتر است.

در مثلث قائم الزاويه، عمود منصف ها روي وتر بر يکديگر برخورد مي کنند و نقطه ي تلاقي عمود منصف ها وتر را به دو قسمت مساوي تقسيم مي کند.

در هر مثلث قائم الزاويه، زاويه ي ما بين ارتفاع و ميانه ي وارد بر وتر برابر است با قدر مطلق تفاضل دو زاويه حاده مثلث. در شكل زير اگر AH ارتفاع وارد بر وتر و AM ميانه ي وارد بر وتر باشد داريم:

با توجه به شكل زير در هر مثلث قائم الزاويه مربع اندازه ارتفاع وارد بر وتر برابر است با حاصل ضرب اندازه پاره خط هايي که پاي اضلاع وارد بر وتر حاصل مي آيد.

در مثلث قائم الزاويه، اندازه ي ميانه برابر است با نصف وتر.

در هر مثلث متساوي الاضلاع ميانه، نيمساز، ارتفاع و عمود منصف هر ضلع بر يکديگر منطبق مي باشند.

AH ميانه است. BH=HC AH نيمساز است.

AH ارتفاع است.

نيم سازهاي داخلي و عمود منصف هاي مثلث متساوي الاضلاع بر هم منطبق مي باشد. بنابراين مرکز دايره محاطي و محيطي مثلث متساوي الاضلاع مطابق شكل زير بر هم منطبق بوده و شعاع دايره محاطي مثلث متساوي الاضلاع به ضلع a برابر شعاع دايره محيطي است.

اندازه ي همه ي ميانه ها، ارتفاع ها و عمود منصف ها در مثلث متساوي الاضلاع برابر است و با توجه به شكل زير داريم:

a ضلع مثلث. نيم ساز= ميانه =ارتفاع =AH

مثلثي که دو ضلع برابر داشته باشد و مثلث متساوي الساقين ناميده مي شود مانند شكل زير، دو ضلع برابر ساق هاي مثلث و ضلع نا برابر قاعده مثلث ناميده مي شود. زاويه هاي مجاور به قاعده و AB=AC ساق ها در هر مثلث متساوي الساقين دو زاويه مجاور به قاعده با هم برابرند.

با توجه به شكل زير،ميانه، نيمساز، ارتفاع و عمود منصف نظير قاعده مثلث متساوي الساقين بر يکديگر منطبق مي باشند.

توجه کنيد به مثلث با محيط ثابت، بيشترين مساحت متعلق به مثلث متساوي الاضلاع است.

مساحت مثلث متساوي الاضلاع از فرمول به دست مي آيد که a طول ضلع مثلث مي باشد.

مساحت مثلث متساوي الساقين به قاعده ي a و ساق b از رابطه ي زير به دست مي آيد.

مساحت مثلث متساوي الاضلاعي با طول ضلع a برابر است با:

براي مثلثي که داراي طول اضلاع c,b,a مي باشد، P را محيط مي ناميم (S,(P=a+b+c را مساحت مي ناميم که مساحت مثلث با محيط رابطه اي دارد که از قرار زير است:

هر مثلث داراي سه ضلع مي باشد که مي توانيم آنها را قاعده بناميم و ارتفاع وارد بر هر قاعده از رأس روبروي آن ضلع رسم مي شود.

و مساحت مثلث

هم نهشتي به معناي قابليت انطباق يا بر هم نهي مي باشد. دو مثلث را هنگامي که تمامي اضلاع، اجزاء و زواياي آن با يکديگر برابر باشند دو مثلث هم نهشت مي نامند. سه حالت زير را از حالت هاي هم نهشتي مي نامند.

1- حالت (ض زض ): هرگاه دو ضلع و زاويه ي بين آنها از يک مثلث، با دو ضلع و زاويه ي بين آنها از مثلث ديگر مساوي باشند، آنگاه دو مثلث هم نهشت هستند.

2- حالت (ز ض ز): هرگاه دو زاويه و ضلع بين آنها از يک مثلث با دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلث ديگر مساوي باشند، آنگاه دو مثلث هم نهشت هستند.

3- حالت (ض ض ض): هرگاه سه ضلع از مثلثي با سه ضلع از مثلث ديگر مساوي باشند، آن گاه دو مثلث هم نهشت هستند.

طبق شكل زير دو مثلث را متشابه گويند که: زاويه هاي نظير (عين هم) در دو مثلث برابر و اضلاع نظير متناسب باشند.

كه نسبت تشابه K مي باشد.

حالات تشابه دو مثلث:

1) اگر دو زاويه از يک مثلث با دو زاويه از مثلث ديگر برابر باشند آن دو مثلث متشابه اند.

2) اگر يک زاويه از يک مثلث با يک زاويه از مثلث ديگر برابر و اضلاع نظير اين زوايا به يک نسبت با يکديگر متناسب باشند، آن گاه دو مثلث متشابه اند.

3) اگر سه ضلع از مثلثي با سه ضلع از مثلث ديگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه اند.

بين دو مثلث با نسبت تشابه K،‌نسبت ميانه، ارتفاع ها و ديگر اجزاي مثلث K مي باشد. نسبت محيط اين دو مثلث متشابه به K مي باشد و نسبت مساحت اين دو مثلث به هم و البته تشابه حجم به دست آمده از دوران اين مثلث ها مي باشد.

بين اجزاي هر دو جسم متشابه با نسبت تشابه K نسبت هاي زير برقرار است:

1)‌بين اجزا و اضلاع خطي آنها نسبت تشابه K وجود دارد.

2) بين محيط آنها نسبت تشابه K وجود دارد.

3) بين مساحت آنها نسبت تشابه وجود دارد.

4)‌بين حجم آنها نسبت تشابه وجود دارد.

تعريف نسبت هاي مثلثاتي:

با توجه به شكل داريم:

ارتفاع:‌پاره خطي که از يک رأس مثلث به رأس مثلث به ضلع مقابل يا امتداد ضلع باشد، ارتفاع مثلث ناميده مي شود. هر مثلث داراي 3 ارتفاع مي باشد. سه ارتفاع مثلث همديگر را در نقطه اي قطع مي کنند که اصطلاحاً هم رأس ناميده مي شود. به شكل زير توجه کنيد.

ميانه: پاره خطي که رأس يک مثلث را به وسط ضلع مقابل آن وصل مي کند.

با توجه به شكل هاي زير ، M نقطه وسط AB مي باشى و CM كه رأس Cرا به M وصل كرده ميانه مي باشد.

هر مثلث 3 ميانه دارد و با توجه به شكل زير هر ميانه مثلث را به دو مثلث با مساحت هاي برابر تقسيم مي کند و در شکل 4 داريم:

به ياد داشته باشيد که نقطه ي برخورد ميانه ها، هر ميانه را به دو قسمت که نسبت آن 2 به 1 است، تقسيم مي کند.

سه ميانه مثلث، داخل مثلث هم رأسند. اين نقطه هم رأسي ميانه ها، گرانيگاه يا مرکز ثقل مي باشد. نقطه ي تلاقي ميانه به فاصله ي طول هر ميانه از وسط ضلع و به فاصله ي طول ميانه از رأس واقع است. با توجه به شكل زير داريم:

نيم ساز: پاره خطي است که زاويه ي مثلث را نصف مي کند و به ضلع مقابل محدود مي کند. با توجه به شكل زير، CD نيمساز زاويه ي C مي باشد، يعني دو زاويه ي با هم برابرند.

ابتدا تعريف فاصله: منظور از فاصله هميشه کمترين مسير بوده که اين مسير هميشه يک خط عمود است. مثلاً نقطه O از خط BC تنها خط است که از آن نقطه بر آن خط عمود است.

‌هرگاه هر سه زاويه ي مثلث حاده باشند، محل تلاقي ارتفاع ها داخل مثلث است.

در مثلث قائم الزاويه ، محل تلاقي ارتفاع ها رأس قائمه مي باشد.

اگر مثلثي يک زاويه ي منفرجه يعني بزرگتر از 90 درجه داشته باشد،با توجه به شكل محل تلاقي ارتفاع ها در آن مثلث در خارج از مثلث مي باشد.

پاره خطي که از وسط ضلع گذشته و بر آن عمود باشد. H نقطه وسط پاره خط AB است و پاره خط HD بر ضلع AB عمود است و از نقطه Hنيز مي گذرد. بنابراين HD عمود منصف وارد بر ضلع AB است. با توجه به شكل .

با توجه به شكل زير، محل تلاقي عمود منصف ها همواره از سه رأس به يک فاصله است و مرکز دايره ي محيطي مثلث است.AO=BO=CO

دايره ي محيطي در شكل رسم شده. دايره اي است که سه رأس مثلث روي محيط آن دايره قرار گرفته باشند.

قضيه ي فيثاغورث:

در هر مثلث قائم الزاويه توان دوم وتر برابر است با مجموع توان دوي دو ضلع ديگر. با توجه به شكل زير داريم:

قضيه ي تالس:

طبق شكل زير اگر خطي با يک ضلع مثلث موازي باشد و دو ضلع ديگر را قطع کند،‌نسبت پاره خط هايي که روي يک ضلع پديد مي آيد برابر است با نسبت پاره خط هايي که روي ضلع ديگر ايجتد مي کند. يعني اگر در مثلث ABC، EF موازي BC نيز پاره خط هايي باشند که روي ضلع ديگر ايجاد شده باشند.

هنگامي که با معادله و دو مجهول داريم بايد بتوانيم با ضرب عددي علامت دار در يکي از دو معادله يا در هر دو معادله، يکي از مجهولات را حذف کنيم و مجهول ديگر را به دست آوريم و با جايگذاري مجهول دوم، مقدار مجهول اول را نيز به دست آوريم.

اگر مثلث ما داراي اضلاع c,b,a باشد در هر مثلث داريم: هر ضلع از مجموع دو ضلع ديگر کوچکتر است.