توزیع برنولی

وقتی لامپی را امتحان می کنیم ممکن است سالم باشد یا معیوب. به طور کلی وقتی کالایی را در موقع خرید امتحان می کنیم یا سالم است و یا ناقص. وقتی از فردی در مورد اعتیادش به سیگار سؤال می کنیم یا سیگاری است یا نیست. از این پدیده های دو حالتی زیادند. اگر سالم بودن کالا یا سیگاری بودن فرد را با 1 = X و ناقص بودن کالا و سیگاری نبودن فرد را با 0 = X نشان دهیم متغیری تصادفی داریم که دو مقدار0 و 1 را اختیار می کند. این آزمایش های دو حالته را امتحان می نامیم و فضای نمونه‌ای هر امتحان دو برآمد دارد دارد. ریختن سکه هم یک امتحان است.

اگر احتمال سالم بودن کالا یا سیگاری بودن فرد را p بگیریم احتمال ناقص بودن کالا و یا سیگاری نبودن فرد را برابر q است. پس جدول توزیع احتمال زیر را برای هر امتحان داریم: 1 = p + q

مرسوم است که دو برآمد امتحان را پیروزی و شکست می نامند. برآمدی که مورد توجه است پیروزی نامیده می شود. مثلا ممکن است لامپ ها را یک به یک برای یافتن لامپی معیوب امتحان کنیم، در این صورت یافتن لامپ معیوب یک پیروزی است. این جدول را می توان به صورت رابطه زیر هم خلاصه کرد:

به طور کلی اگر پیشامد A از یک فضای نمونه ای را در نظر بگیریم و رخداد A را پیروزی گرفته احتمال پیروزی را p فرض کنیم، آن گاه متغیر تصادفی X که به صورت :

تعریف می شود دارای تابع احتمال بالاست .

متغیر تصادفی X را که تنها دو مقدار صفر و یک را می پذیرد، متغیر برنولی و توزیع احتمال آن را توزیع برنولی می گویند .

حال اگر یک آزمایش را n بار تکرار کنیم، احتمال x بار پیروزی از رابطه ی زیر محاسبه می شود:

که در آن P احتمال پیروزی در یک آزمایش است.