هذلولي مكان هندسي نقاطي از صفحه است كه قدر مطلق فواصل آنها از دو نقطه ثابت مقدار ثابتي است كه اين مقدار ثابت بايد كوچكتر از فاصله‌ي بين دو نقطه ثابت باشد.

اگر مقدار ثابت برابر فاصله‌ي بين دو نقطه باشد يعني در اين صورت مكان هندسي به صورت دو نيم خط در مي‌آيد كه در امتداد است.

اگر مقدار ثابت بيش از فاصله اين دو نقطه باشد در اين صورت هيچ شكلي حقيقي بوجود نمي آيد. در هر هذلولي دو نقطه ثابت را كانونهاي هذلولي و فاصله بين آنها را فاصله‌ي كانوني هذلولي مي‌نامند و آنرا با c2 نمايش مي‌دهند امتداد خط

را محور كانوني (يا محور قاطع) هذلولي مي‌نامند وسط را مركز هذلولي مي‌نامند و آنرا با o يا w نمايش مي‌دهند. محل تقاطع محور كانوني يا منحني را رئوس كانوني هذلولي مي‌نامند و آنها را با نمايش مي‌دهند برابر همان مقدار ثابت در تعريف هذلولي است و با a2 نشان مي‌دهند خطي كه در مركز بر محور كانوني هذلولي عمود شده را محور ناكانوني (يا غير قاطع) هذلولي گويند. محور‌هاي كانوني و ناكانوني هذلولي، محورهاي تقارن هذلولي مي‌باشند و چون بر هم عمودند محل تقاطع آنها يا همان مركز هذلولي مركز تقارن هذلولي مي‌باشد.

مطابق شكل اگر M(x,y) نقطه اي از هذلولي و كانون‌هاي آن نقاط و مقدار ثابت a2 باشد معادله هذلولي به صورت

كه مي‌باشد. مركز هذلولي مبدأ مختصات است را قطر كانوني و را قطر غير كانوني هذلولي مي‌ناميم كه محور‌هاي تقارن هذلولي اند و محل برخورد آنها مركز تقارن است.

اگر (M(x,y نقطه اي از شاخه راست هذلولي باشد داريم:

و اگرM نقطه اي از شاخه چپ هذلولي باشد داريم:

و همواره داريم

1) در هذلولي با توجه به رابطه داريم پس است. اما بر خلاف بيضي نيست و هر يك از حالت‌هاي در هذلولي مي‌تواند اتفاق بيفتد.

2) بر خلاف بيضي در هذلولي علامت‌هاي ضرائب

با هم مخالف است. در حالتي كه عدد ثابت طرف راست تساوي يك راست (يا هر عدد مثبت ديگري است) اگر ضريب مثبت باشد و ضريب منفي باشد، هذلولي افقي است و در حالت برعكس هذلولي قائم است.

3) همواره در مخرج كسر قرار دارد كه علامت آن مثبت است يعني در هذلولي افقي در زير و در هذلولي قائم در زير قرار دارد و بر عكس است.

4) در هذلولي افقي كانونها،رئوس كانوني و مركز همه داراي عرض يكسان است و برعكس.

5) در هذلولي قائم كانونها،رئوس كانوني و مركز داراي طول يكسان مي‌باشد و برعكس.

هر معادله به فرم با شرط مختلف العلامه بودن B,A يك هذلولي و يا دو خط راست مي‌باشد كه به آن معادله‌ي ضمني يا باز هذلولي مي‌گويند. با روش مربع سازي مي‌توان معادله را به فرم كانوني تبديل كرد.

تذكر: نيازي به حفظ كردن فرمول بالا نيست و به راحتي محاسبه مي‌شود.

اگر عدد سمت راست تساوي برابر صفر شود سمت چپ با استفاده از اتحاد مزدوج به دو پرانتز تبديل مي‌شود كه هر كدام برابر صفر و معادله‌ي دو خط راست به دست مي‌آيد كه اين دو خط با هم متقاطع اند اگر عدد سمت راست تساوي مخالف صفر شود با تقسيم طرفين تساوي بر اين عدد معادله استاندارد هذلولي بدست مي‌آيد كه مركز آن مي‌باشد.

البته براي بدست مركز هذلولي مي‌توانيم از مشتق رابطه نسبت به y,x استفاده كنيم يعني به ترتيب طول و عرض مركز هذلولي را به ما مي‌دهد.

نكته:

اين كه براي تشخيص هذلولي از دو خط متقاطع كافي است با استفاده از مشتق مركز را بدست آوريم اگر مشخصات مركز در معادله صدق كرد معادله دو خط متقاطع است و مركز همان نقاط متقاطع دو خط متقاطع مي‌باشد و اگر صدق نكرد معادله‌ي هذلولي مي‌باشد.

6) اگر مركز تقارن هذلولي به صورت باشد و هذلولي افقي باشد معادله‌ي آن مطابق شكل به صورت زير مي‌باشد:

حال اگر محور كانوني هذلولي موازي محور yها باشد هذلولي قائم ناميده مي‌شود اگر مركز هذلولي باشد داريم:

نكته:

براي تشخيص وضعيت نقطه M نسبت به هذلولي داريم:

البته از معادله‌ي ضمني هم مي‌توان استفاده كرد كه اگر ضابطه‌ي هذلولي به صورت باشد و نقطه‌ي مورد نظر باشد اگر:

تذكر:

چون در معادله‌ي ضمني هذلولي دو كدام عبارت‌هاي مي‌توانند منفي باشد و در واقع، معادله‌ي ضمني را به دو شكل مي‌توانيم بنويسيم كه در منفي و مثبت شدن كاملاً دخالت دارد براي اينكه تشخيص دهيم كه معادله‌ي ضمني را درست نوشتيم يا نه، مختصات مركز را در معادله‌ي ضمني قرار مي‌دهيم اگر مقدار منفي بدست معادله‌ي ضمني درست است و اگر مثبت بايد تمام معادله را در يك منفي ضرب كرد.

تعريف: در هر هذلولي نسبت را خروج از مركز هذلولي مي‌نامند و آنرا با e نمايش مي‌دهند. خروج از مركز هذلولي همواره بزرگتر از 1 است.

نكته:

خروج از مركز هذلولي را مي‌توان از رابطه هم بدست آورد.

يادآوري: خط y=mx+n را مجانب ميل تابع (y=f(x مي‌گويند هرگاه داشته باشيم:

نكته:

در هذلولي‌هاي افقي قائم همواره دو مجانب مايل وجود دارد كه معادله‌ي آنها به صورت زير است:

نكته:

شيب خطوط مجانب در هذلولي قائم و در هذلولي افقي مي‌باشد.

نكته:

زاويه‌ي بين دو خط با شيب‌هاي از رابطه‌ي زير بدست مي‌آيد:

مطابق شكل مستطيلي كه قطر‌هاي آن مجانب‌هاي هذلولي مي‌باشد مستطيل مجانب‌هاي هذلولي نام دارد و اوساط اضلاع آن رئوس هذلولي مي‌باشد اگر زاويه‌ي بين دو مجانب باشد داريم:

اين فرمول‌ها مطابق شكل به همين شكل در هذلولي قائم وجود دارد.

نكته:

هرگاه در يك هذلولي a=b باشد آنرا هذلولي تساوي القطرين يا متساوي‌الساقين مي‌گويند در هر هذلولي تساوي القطرين داريم:

1- خروج از مركز برابر مي‌باشد

2- خطوط مجانب بر هم عمودند و معادلات آنها به صورت مي‌باشد.

3- در معادله‌ي ضمني قدر مطلق ضرائب با هم برابرند. در واقع هر معادله به فرم

به شرطي كه دو خط نباشد معادله‌ي يك هذلولي تساوي الساقين است.

4- در حالت افقي معادله‌ي استاندارد به صورت و در حالت قائم به صورت مي‌باشد.

نكته:

در هر هذلولي قائم يا افقي فاصله‌ي هر كانون از هر خط مجانب آن برابر مقدار ثابت b مي‌باشد.

اين مطلب را در مورد هذلولي ثابت مي‌كنيم مطابق شكل داريم:

كانون هذلولي (0وF(c و خط مجانب آن مي‌باشد پس داريم:

نكته:

در هر هذلولي افقي يا قائم فاصله‌ي هر رأس كانوني از هر مجانب هذلولي برابر مقدار ثابت مي‌باشد.