اگر تابع f روی بازه باز I مشتق پذیر باشد یعنی آنگاه تابع خود ممکن است در نقطه ای مثل a ,یا همه نقاط باز مشتق پذیر باشد , به عبارت دیگر اگر حد زیر موجود باشد آن را با نمایش داده و مشتق دوم هم تابع در a می نامیم :

تذکر مهم : اگر f در a=x مشتق هم داشته باشد , آنگاه :

1) f در a پیوسته :

2) f در a مشتق اول دارد :

3) مشتق دوم چپ و راست موجود و برابر هستند :

تذکر : در بررسی مشتق دوم توابع شامل قدر مطلق و جزء صحیح بهتر است تابع را در همسایگی آن نقطه ضابطه بندی کرده و سپس مشتق مراتب مختلف را بررسی کنیم. در هر مرتبه ای که مشتق وجود نداشته باشد , مشتق مراتب بالاتر نیز وجود ندارد.

تذکر : عمل مشتق گیری مراتب بالاتر را می توان ادامه داد و مشتق های سوم و چهارم تا nام تابع f را تعریف کرد این مشتق ها را به ترتیب با نمایش می دهند.