اگر تابع f در بازهي I داده شده باشد و ميگوييم تابع f در داراي يك ماكسيمم نسبي است هرگاه براي هر داشته باشيم ، در اين صورت مقدار ماكسيمم نسبي تابع است. يعني در يك همسايگي از فقط از بقيهي (f(xها بيشتر است پس در بين آنها از همه بيشتر است و چون بررسي ما فقط در يك همسايگي از است نه در كل دامنهي تابع f پس به آن صفت نسبي ميدهيم.
هرگاه براي هر (I همسايگي است) داشته باشيم ، در اين صورت مقدار مينيمم نسبي تابع است. يعني در همسايگي از اين فقط است كه از بقيهي (f(xها كمتر است.
نكته:
در تعريف ماكسيمم نسبي، بازهي باز I به اندازهي لازم كوچك گرفته ميشود.
ماكسيمم و مينيممهاي يك تابع اكسترممهاي آن تابع ناميده ميشوند. و به طوري كه ديده شد، در اين نقاط مشتق تابع صفر ميشود (به شرط اين كه تابع در اين نقاط مشتق پذير باشد) بنابراين، با توجه به آن چه گذشت، براي يافتن اكسترممهاي يك تابع مشتق پذير f مشتق آن را حساب كرده و برابر با صفر ميگذاريم. آن گاه ريشههاي معادلهي به دست آمده يعني را مييابيم. اين ريشه ها، به شرط آن كه مشتق در آنها تغيير علامت دهد، نقاط اكسترمم تابع را معين ميكنند. اگر يكي از اين ريشهها و تغيير علامت مشتق در از مثبت به منفي باشد، تابع در داراي يك ماكسيمم و چنانچه تغيير علامت مشتق در از منفي به مثبت باشد، تابع در داراي يك مينيمم است. در هرحال مقدار اكسترمم تابع را معلوم ميكند.
پس با توجه به نكتهي ياد شده اگر تابع f مشتق پذير باشد براي يافتن طول اكسترممهاي آن ريشههاي مشتق تابع را مييابيم. پس جدول تعيين علامت را ميكشيم و هايي كه مشتق در اطراف آن تغيير علامت دهد طول اكسترممها است.
توجه كنيد كه آنچه گفته شد، آزمون مشتق اول نام دارد. يعني ريشه هايي از مشتق اول تابع كه تابع مشتق مثلا در اطراف آن تغيير علامت دهد ميتوانند يك اكسترمم باشند حالا اگر آزمون مستق دوم را هم پياده كنيم ميتوانيم بفهميم كه تابع f در اكسترمم به دست آمده ماكزيمم است يا مينيمم بدين صورت كه اگر آن نقطه يا اكسترمم مفروض را نام گذاريم را پيدا كنيم چنانچه يعني طول مينيمم نسبي است اما اگر يعني طول ماكزيمم نسبي تابع f است.
آزمون مشتق دوم كمك ميكند كه نوع اكسترممهاي تابع f را بدون كشيدن جدول تعيين علامت تشخيص دهيم.
نكتهاي را يادآوري ميكنيم كه در يك جدول كه ريشههاي مشتق را گذاشتهايم كل بازهي به چند بازه تقسيم كرده ايم اگر بخواهيم جدول را تعيين علامت كنيم براي گذاشتن علامت در هر بازه اول از آن بازهي مشخص يك عدد انتخاب ميكنيم و آن را در معادلهي مشتق جايگذاري ميكنيم كه ببينيم مشتق آن عدد (+) است يا (- ) علامت مشتق هر چه شد آن علامت را در بازه مفروض ميگذاريم. مثلا به جدول زير نگاه كنيد كل بازهي به سه بازهي تقسيم شده پس براي علامت ابتدا سراغ بازهي ميرويم يك عدد از اين بازه انتخاب ميكنيم مثلا عدد 1- و آن را در معادلهي مشتق كه در اينجا است جايگذاري ميكنيم:
چون علامت 3، مثبت است پس علامت + را در بازهي در رديف ميگذاريم و اگر عدد 1 را از بازهي انتخاب كنيم و را در آن بيابيم داريم:
چون 1- داراي علامت (- ) است پس در جدول در بازهي و در رديف علامت (- ) را ميكشيم. و به همين ترتيب براي بازهي بعدي كه نيز عمل ميكنيم كه در نهايت علامت آن (+) خواهد شد.