تعريف پيوستگي:

هر گاه حد چپ تابع در نقطه ي برابر حد راست آن و مقدار تابع در نقطه باشد، آن گاه مي گوئيم تابع در پيوسته است.

تعريف پيوستگي راست:

هرگاه حد راست تابع با مقدار تابع در يک نقطه برابر باشد، مي گوئيم تابع در آن نقطه پيوستگي راست دارد.

تعريف پيوستگي چپ:

هرگاه حد چپ تابع با مقدار تابع در يک نقطه برابر باشد، آن گاه تابع در آن نقطه پيوستگي چپ دارد

قضايا و نکات ويژه:

1 ) اگر f و g و x = a پيوسته باشد، آن گاه نيز در x = a پيوسته اند.

2 ) اگر و تابع f در x = b پيوسته باشد:

3 ) اگر f در نقطه ي x = a پيوسته باشد، ، براي n هاي فرد در a پيوسته و براي n هاي زوج در نقاطي به طول a که در همسايگي آن باشد، پيوسته است.

4 ) توابع چند جمله اي به فرم در R پيوسته است.

5 ) اگر f در دامنه اش پيوسته باشد، نيز پيوسته است ؛ ولي نه برعکس.

6 ) اگر f در دامنه اش پيوسته باشد، نيز پيوسته است ؛ ولي نه برعکس.

7 ) در توابع کسري که صورت و مخرج چند جمله اي هستند، فقط در ريشه هاي مخرج ناپيوسته است.

8 ) اگر f و g هر دو دو در x = a ناپيوسته باشند، در مورد پيوستگي نمي توان نظر داد.

9 ) اگر در x = a، f پيوسته و g ناپيوسته باشد و fog و gof در آن نقطه ممکن است، پيوسته باشد يا نباشد.

10 ) اگر f و g در نقطه اي ناپيوسته باشد fog و gof در آن نقطه ممکن است، پيوسته باشد يا نباشد.

11 ) اگر در نقطه اي f پيوسته و g ناپيوسته باشد، در آن نقطه ناپيوسته است.

12 ) اگر ، آن گاه f در a پيوسته است.

13 ) توابع به فرم در نقاطي که در صورتي که از راست پيوسته و اگر از چپ پيوسته اند.

14 ) تابع هيچ گونه پيوستگي ندارد.

15 ) اگر f در پيوسته باشد، آن گاه در پيوسته است ولي اگر باشد، y در ناپيوسته است، مگر اين که f در نسبي داشته باشد.

تعريف:

تابع f در بازه ي ( b و a ) پيوسته است، اگر به ازاي هر پيوسته باشد.

همچنين f در بازه ي پيوسته است هرگاه:

1. 1 ) در ( b و a ) پيوسته باشد.
2. 2 ) در b از چپ و در a از راست پيوسته باشد

نکته:

تابع همواره پيوسته است.

همچنين همواره پيوسته است که بزرگ ترين بازه ي ممکن است.

نکته:

اگر f پيوسته باشد، براي تعيين تعداد نقاط ناپيوستگي در يک بازه، به ازاي مقاديري که f ( x) يک عدد صحيح مي باشد، تابع ناپيوسته است. مگر آن که نقطه نسبي باشد.

نکته:

براي به دست آوردن تعداد نقاط ناپيوستگي مجموع يا تفاضل دو تابع، ابتدا نقاط ناپيوستگي هر يک را يافته، سپس به ازاي نقاط غير مشترک تابع ناپيوسته و به ازاي نقاط مشترک بايد بررسي کنيم.

ولي در مورد ضرب دو تابع، علاوه بر اين ها، بايد دقت کنيم اگر يکي از توابع در نقاط ناپيوستگي تابع ديگر صفر شود، تابع در آن نقطه پيوسته است.

نکته:

در توابع چند ضابطه اي، نقاط مشکوک براي ناپيوستگي مرز ناحيه ها است.