معادلات بالا به معادلات پارامتري يك مكان هندسي معروفند كه براي تشخيص نوع شكل، بايد رابطه اي بين y,x برقرار كنيم.

بيضي مكان هندسي نقاطي از يك صفحه است كه مجموع فواصل آنها از دو نقطه‌ي ثابت مقدار ثابتي است كه اين مقدار ثابت بايد از فاصله‌ي آن دو نقطه بيشتر باشد به دو نقطه‌ي كانون بيضي و مقدار ثابت را با a2 نشان مي‌دهد. توجه كنيد اگر مقدار ثابت برابر فاصله‌ي دو نقطه باشد آنگاه مكان هندسي مورد نظر بايد يك خط راست باشد نه بيضي، و اگر كمتر باشد هيچ شكلي تشكيل نخواهد شد.

به فاصله‌ي بين دو نقطه فاصله‌ي كانوني گويند و اين فاصله را با c2 نمايش مي‌دهند. نقطه‌ي وسط بين دو كانون مركز بيضي است و با o يا w نمايش مي‌دهند. خطي كه دو كانون را به هم وصل مي‌كند را امتداد مي‌دهيم محل تلاقي اين خط با بيضي رئوس كانوني بيضي مورد نظر مي‌باشند و آنرا با نمايش مي‌دهند. پاره خط را قط كانوني يا قطر بزرگ بيضي مي‌نامند. خطي كه در مركز بر قطر بزرگ عمود است را ادامه مي‌دهيم محل برخورد اين خط با بيضي رئوس غير كانوني بيضي مي‌باشد و با نمايش مي‌دهند كه قطر غير كانوني يا كوچك بيضي مي‌باشد. طول قطر بزرگ با a2 و طول قطر كوچك را با b2 نمايش مي‌دهند بيضي كه قطر بزرگ آن موازي محور x باشد بيضي افقي و اگر قطر بزرگ آن موازي محور yها باشد بيضي قائم مي‌نامند.

يك بيضي افقي كه مركز آن مبدأ مختصات باشد را در نظر مي‌گيريم. اين بيضي يك بيضي افقي استاندارد مي‌باشد و معادله آن و مختصات كانوني و رئوس آن عبارتند از:

بيضي افقي است و قطر بزرگ آن موازي محور xها است و مي‌باشد.

حال اگر در بيضي افقي نقطه مركز باشد معادله و مختصات كانونها و روئوس به صورت زير مي‌باشد:

اگر قطر بزرگ بيضي موازي محور yها باشد بيضي را بيضي قائم مي‌گويند معادلات بيضي و مختصات كانونها و رئوس آن هنگامي كه مركز باشد به ترتيب عبارتند از:

نكته:

در بيضي همواره رابطه‌ي برقرار است بنابراين همواره aبزرگتر از c,b مي‌باشد .

تذكر1:

در بيضي افقي عدد بزرگتر زير عبارت قرار دارد و در بيضي قائم عدد بزرگتر زير قرار دارد.

تذكر 2:

در بيضي افقي مركز، كانونها و رئوس كانوني داراي عرض يكسان مي‌باشند و بالعكس

تذكر3:

در بيضي قائم مركز،كانونها و رئوس كانوني داراي طول يكسان مي‌باشند و بلعكس

در هر بيضي نسبت را خروج از مركز بيضي گويند و با e نمايش مي‌دهند و همواره داريم :

البته مي‌توان گفت و هر چقدر خروج از مركز بيضي كوچكتر شود بيضي به دايره نزديكتر مي‌شود و هر چقدر خروج از مركز بزرگتر شده و به يك نزديكتر شود بيضي كشيده‌تر مي‌شود و در حالت جدي اگر e برابر يك شود بيضي به شكل يك پاره خط در مي‌آيد.

معادله‌ي ضمني يك بيضي افقي يا قائم به صورت مي‌باشد كه در آن aو c نا مساوي ولي هم علامتند و عبارت xy در آن وجود ندارد و در اين معادلات مختصات مركز از مشتق گرفتن نسبت به x(مؤلفه‌ي xمركز) و مشتق گرفتن نسبت y (مؤلفه‌ي yمركز) بدست مي‌آيد. در حالتي كه بيضي قائم و در حالتي كه بيضي افقي مي‌باشد

تذكر:

اگر M نقطه اي روي بيضي باشد به خطوط شعاع‌هاي حامل نقطه M مي‌گويند.

اگر M نقطه اي در صفحه و كانون‌هاي بيضي باشند داريم:

براي تعيين وضعيت يك نقطه نسبت به بيضي مي‌توانيم از معادله‌ي ضمني بيضي استفاده كنيم اگر نقطه مورد نظر و معادله‌ي بيضي باشد (aحتماً مثبت باشد) در اين صورت:

1- معادلات پارامتري

معادلات يك بيضي افقي به مركز و قطر بزرگ و كوچك به ترتيب مساوي a2وb2 مي‌باشد.

2- معادلات پارامتري

معادلات يك بيضي قائم به مركز و قطر بزرگ و كوچك به ترتيب برابر a2وb2 مي‌باشد.