تابع صعودي :

اگر در يك تابع دامنه‌ي مورد نظر آن را با بازه‌ي I معرفي كنيم و يك متغير را از آن انتخاب كنيم و را بنويسيم و بار ديگر متغيري ديگر مانند با اين شرط كه باشد را از آن انتخاب كنيم و را بنويسيم و متوجه شويم كه حال اگر اين حالت براي تمام متغيرهايي كه اينگونه انتخاب مي‌شوند برقرار باشد يعني هرچه xها را زياد مي‌كنيم. مقدار yها هم افزايش يابد در اين صورت تابع را صعودي مي‌گويند. البته اگر مقدار yها همواره افزايش يابد و اصلا در هيچ جا ثابت نماند آنگاه تابع را اكيدا صعودي مي‌ناميم براي درك بهتر به توضيحات زير توجه كنيد:

توابع صعودي و نزولي:

1) اگر به ازاي هر (I يك بازه است) داشته باشيم:

شكل‌هاي 1 تا 4 توابع صعودي هستند. شكل‌هاي (1) و (2) و (4) صعودي اكيد هستند و تابع (3) صعودي است ولي اكيدا صعودي نيست.

تذكر مهم: هر تابع اكيدا صعودي هود تابعي است صعودي.

2) به ازاي هر (I يك بازه است) داشته باشيم:

تذكر1: تابع ثابت، تابعي است هم صعودي و هم نزولي

تذكر2: اگر تابع f، تابعي پيوسته باشد آن گاه : (در نقاطي كه موجود است)

1) در بازه‌ي ، f صعودي است.

2) در بازه‌ي ، f نزولي است.

به عنوان مثال در تابع ، f صعودي است.

اشكال (5) و (6) و (7) تابع هايي اكيدا نزولي اند ولي شكل (8) تابعي نزولي است و اكيدا نزولي نيست.

اكيدا نزولي يعني تابعي كه همواره نزول مي‌كند و رو به پايين است و نزولي يعني در بعضي جاها يا در همه جاي دامنه به صورت خط صاف است.

صعودي نيز هم اين طور است يعني در بعضي‌هاي دامنه يا در همه جاي دامنه به صورت خطي صاف است.

اگر تابع f در بازه‌ي I صعودي باشد داريم:

پس مي‌توانيم بگوييم كه اگر يك تابع صعودي باشد مشتق آن مثبت است و همچنين مي‌توانيم بگوييم كه زماني يك تابع نزولي است كه مشتق آن منفي است. پس براي اين كه تشخيص دهيم يك تابع در كجاها از دامنه اش صعودي و در كجاها نزولي است بهتر است مشتق آن را بگيريم و تعيين علامتش كنيم هر جا كه علامت مثبت بود تابع رشد صعودي دارد يعني صعودي است و هرجا كه علامت منفي بود تابع نزول مي‌كند يعني نزولي است.